一、什么情形签订无固定期限劳动合同
以下情形签订无固定期限劳动合同：
1.劳动者在该用人单位连续工作满十年的。这意味着劳动者在同一用人单位持续工作达到十年，期间没有中断或解除劳动关系等情况，就满足签订无固定期限劳动合同的条件。
2.用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的。在这种特定情况下，同时满足连续工作十年以及距法定退休年龄不足十年这两个条件，用人单位应当与劳动者签订无固定期限劳动合同。
3.连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。即劳动者已经与用人单位连续签订了两次固定期限劳动合同，在第三次续订时，若劳动者不存在法定的可解除劳动合同的情形，用人单位就应当与劳动者签订无固定期限劳动合同。
二、什么情况下可以签无固定期限的劳动合同
一般在以下几种情况下可以签订无固定期限的劳动合同：
其一，劳动者在该用人单位连续工作满十年的。这体现了用人单位对劳动者长期服务的认可，连续工作满十年是一个重要的时间节点。
其二，用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的。这种规定旨在保障劳动者在特定阶段的就业稳定和权益。
其三，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。通过两次固定期限劳动合同的约定，为劳动者提供了更稳定的工作预期，同时也对用人单位的用工行为进行了一定的规范。
总之，无固定期限劳动合同的签订是为了维护劳动关系的稳定，保障劳动者的合法权益，同时也对用人单位的用工管理提出了更高的要求。
三、没签合同没社保怎么证明劳动关系
未签订合同且未缴纳社保时，可通过以下方式证明劳动关系：
1.工资支付凭证或记录，如工资条、银行转账记录等，能证明用人单位向劳动者支付了劳动报酬。
2.工作考勤记录，如考勤表、打卡记录等，可体现劳动者的工作时间和出勤情况。
3.工作证、服务证等能够证明劳动者身份的证件，上面通常会有用人单位的名称等信息。
4.用人单位发放的能够证明身份的证件，如工作牌、工作服等。
5.劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”“报名表”等招用记录。
6.同事的证言，如有其他同事能够证明劳动者与用人单位存在劳动关系，可作为证据之一。
7.劳动者在用人单位工作期间涉及的业务文件、往来邮件等，能反映出工作内容和劳动关系。
通过以上多种证据相互印证，一般可以较为有效地证明劳动关系的存在。
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来源：中国法院网-没签合同没社保怎么证明劳动关系，没有签署劳动合同如何证明劳动关系